Rabu, 06 Januari 2016

Aplikasi perkantoran

3 cara screenshot print screen atau screen capture

untuk pengguna komputer atau laptop baru pasti anda bertanya – tanya cara mengambil gambar dari aktifitas desktop anda, oleh karena itu saya membuat artikel 3 cara screenshot print screen atau screen capture ini.
sebenarnya sih mengambil gambar pada aktifitas desktop sangatlah mudah, akan tetapi kurangnya anda mengobok – ngobok fasilitas yang di sediakan windows dan keyboard membuat anda tidak tau

saya akan menjelaskan ketiga cara mengambil gambar pada desktop atau biasanya di sebut screenshot, bisa menggunakan software ataupun tanpa software

cara screenshot dengan snipping tool

sebenarnya ini aplikasi sudah tertanam di windows 7 dan windows 8 dan aplikasi ini yang saya sering gunakan untuk screenshot di komputer atau laptop.
caranya cukup mudah anda tinggal buka aplikasinya di menu start > all program >accessories > snipping tool.
dan cara menggunakanya cukup mudah anda langsung drag saja ke daerah yang ingin anda ambil menjadi gambar lalu ketika beres anda tinggal save hasilnya atau bisa anda coret – coret dengan pen tool yang tersedia sebelum anda save gambarnya, jika ingin membuat baru anda tinggal klik new jika tidak jadi mengambil gambar, anda tinggal klik cancel. begitu kira – kira cara menggunakan aplikasi snipping tool bawaan windows.

cara print screen di komputer atau laptop

nah kalo cara print screen adalah memanfaat fasilitas keyboard pc atau pun laptop, lihat lah di sebelah kanan atas di layout ada tombol tulisanya prtsc sysrq atau prt scr contoh nya lihat gambar.

gambar tombol print screen

nah langkah untuk print screen adalah anda klik tombol print screen di keyboard lalu anda buka paint di start > all program > accessories > paint. lalu anda tekan ctrl + v atau paste pada halaman kosong nya, maka nanti gambar yang tadi di print screen akan muncul, setelah itu anda bebas mu di edit dahulu atau langsung di save aja, sebenarnya anda bisa paste hasil dari print screen di aplikasi seperti corel draw atau photoshop dan alat editor gambar lainya, itu terserah dengan pilihan anda

cara screen capture dengan software

screen capture adalah aplikasi untuk mengambil gambar aktivitas di desktop anda, cara menggunakanya cukup mudah anda tinggal buka aplikasinya lalu anda pilih mode kotak segitiga atau bentuk yang lainya, lalu anda drag saja di daerah yang akan anda ambil gambar nya selesai.
untuk aplikasinya anda bisa download link di bawah ini http://www.faststone.org/FSCapturerDownload.htm
pilih yang portable saja agar anda gak perlu repot install ke komputer anda segala.
demikian artikel dari tuntor.com tentang 3 cara screenshot print screen atau screen capture, semoga berguna untuk anda yang membutuhkan, dan menjadi pengetahuan untuk anda para pembaca bahwa dunia komputer tidak sesusah yang anda bayang kan

terima kasih telah berkunjung jangan lupa di share artikel nya jika bermanfaat, gak bayar ko

logika algoritma dan struktur data

materi logika algoritma dan struktur data

Post ini bertujuan untuk mempromosikan teman saya yang menjadi dosen di UKDW. Dia sudah menulis beberapa modul kuliah yang mungkin berguna bagi kalian yang berminat. Kali ini saya menyajikan link untuk mendownload modul Algoritma dan Struktur Data. Mata kuliah ini menurut saya sangat penting dan akan sangat membantu bagi anda yang berminat dalam bidang software engineering.
Ingat, materi kuliah ini buatan teman saya dan jika anda menjiplak / mengubah / mengutipnya mohon mencantumkan nama pembuat aslinya : Antonius Rachmat C.
Tujuan mata kuliah Algoritma dan Struktur Data :
Mahasiswa mampu memahami logika berpikir komputer, memahami prinsip kerja program, memahami alasan-alasan komputer dapat mengerjakan perintah-perintah yang diberikan, dan mampu menggambarkan logika jalannya program secara tertulis dengan algoritma (pseudo code) dan dilengkapi dengan diagram alir (flow chart) .
Perkenalan
Pengantar Algoritma dan Pemrograman
– Apa itu algoritma
– Kegunaan dan contoh
– Apa yang akan dipelajari selama kuliah
Flowchart dan Bahasa Pemrograman
– Flowchart
– Bahasa Pemrograman 3 GL dan Contohnya
– Mengenal C++ dan C#
Tipe Data, Keyword, Operator dan Kondisi (Percabangan)
– Tipe Data dan keyword
– Operator dan Derajatnya
– IF tunggal, bertingkat
– Multiple Conditions
– Switch Case
– Contoh-contoh dan latihan!
Perulangan (looping)
– For, While, DoWhile
– Break dan Continue
– Nested Loop
– Contoh kasus dan latihan!
Array 1 : Array 1 dimensi dan operasinya
– Definisi dan deklarasi
– Kegunaan, sifat-sifat Array 1 dimensi
– Contoh-contoh : add, search, edit, delete
Array 2 dimensi dan Manipulasi String
– Apa itu String
– Berbagai hal menarik tentang String
Prosedur dan Fungsi
– Procedure (void)
– Function (non-void)
– Parameter: formal dan aktual
– Latihan
ADT (Abstract Data Type) dan Stack dengan Array
– Definisi dan Deklarasi
– Kegunaan, sifat-sifat
– Contoh-contoh
– Stack dan kegunaanya
Struktur Data Antrian dengan Array
– Pengertian Antrian dan sifatnya
– Deklarasi
– Contoh penggunaan
Sorting dan Searching Array
– Bubble Sort
– Selection Sort
– Insertion Sort
– Quick Sort
– Searching sekuensial
Function by Reference
– Pengertian dan sifat-sifat
STRUKTUR DATA
STRUKTUR DATA
Struktur data a/ Cara penyimpanan, Penyusunan & Pengaturan data didalam media penyimpanan komputer jadi dapat digunakaan secara Efisien.
2 aktivitas terhadap Objek data :
a. Mendeskripsikan kumpulan operasi sah yang diterapkan ke elemen-elemen objek data.
b. Menunjukan mekanisme kerja Operasi2
Tahap Pembuatan struktur data :
Tahap Pertama : Spesifikasi (Pendeskripsian) : apa yg dapat dilakukan struktur data yg melibatkan Logika -Spesi3ikasi dapat dilakukan dgn 2 cara, Formal & Informal.
Tahap Kedua : Implementasi : Menyatakan Penerapan struktur data yg telah ada. Implementasi berisi DEKLARASI struktur item2 data juga algoritma2 u/ Implementasi Operasi2 sehingga terjamin terpenuhinya Karakter Struktur data.
Tahap ketiga : Pemrograman : Pemrograman struktur data a/ Penerjemah menjadi pernyataan dibahasa Pemrograman.
Ciri-Ciri Algoritma :
a. Input (Masukan yg diberikan secara internal)
b. Output (Keluaran / Tampilan yg dihasilkan)
c. Definite (Menyatakan apa yg dilakukan)
d. Effective (Instruksi yg dilakukan secara Manual, dgn jumlah waktu yg berhingga)
e. Terminate (Berhenti setelah sejumlah Operasi)
LINKED LIST
-jujur Materi ini gak begitu ngerti-
Linked list a/ Struktur rangkaian elemen2 yg terkait melalui pointer
istilah :
Pointer : alamat Elemen
simpul : masing2 komponen
a. Bagian data / Medan informasi (Yang berisi informasi yg akan disimpan & diolah)
b. Link Field / Bagian Pointer / Medan penyambung (Menujuk kesimpul selanjutnya)
Simpul Dabu (Simpul Baru slalu diletakan sbg simpul pertama & simpul baru menyisip diatara ke-2 simpul yg sudah ada)
STACK
Stack a/ Kasus khusus Ordered List dgn penyimpanan & penghapusan disalah satu ujungnya, Stack lainnya disebut Pushdown List.
Stack memiliki sifat LIFO (Last In First Out).
Operasi dasar Stack :
a. Operasi Menciptakan S Sebagai Stack Koson (initS (S))
b. Operasi Menyisipkan elemen X ke stack S & mengembalikan Stack baru (Push (S,X))
c. Operasi Menghilangkan elemen puncak stack s, (Pop (s,x))
d. Operasi mengirim elemen puncak stack S, (topS (S,X))
e. Operasi Mengirim true jika S kosong, jika tidak kosong mengirim False (isEmptyS (S))
f. Operasi Mengirim jumlah elemen stack S (how manyInS (S))
Pengunaan Stack :
1. Simulasi Tumpukan didunia nyata (tumpukan Buku, Baju, Sate dll)
2. Pemanggilan Fungsi.
3. Implementasi Fungsi.
4. Penanganan Interupsi.
5. Evaluasi Ekspresi.
6. Konversi Infiks ke postfiks
7. Konvers Basis 10 kebasis 2.

Contoh Soal Matriks, Pengertian, Jenis-jenis, Sifat Operasi, Invers, Jawaban, Notasi dan Ordo, Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Transpose, Skalar, Determinan, Matematika

4:02 PM

Contoh Soal Matriks, Pengertian, Jenis-jenis, Sifat Operasi, Invers, Jawaban, Notasi dan Ordo, Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Transpose, Skalar, Determinan, Matematika - Apa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftar nilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunan penulisannya? Jika susunan tersebut dituliskan untuk per hari atau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangat panjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apa yang kalian bayangkan tentang posisi berderet dari depan ke belakang dan dari kiri ke kanan? Kasus-kasus di atas dapat disajikan dengan mudah menggunakan matriks.

Tujuan Pembelajaran :

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat

menjelaskan ciri suatu matriks;
menuliskan informasi dalam bentuk matriks;
melakukan operasi aljabar atas dua matriks;
menentukan determinan matriks persegi ordo 2;
menentukan invers matriks persegi ordo 2;
menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks;
menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan;
menentukan determinan matriks persegi ordo 3;
menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel.

Materi tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian.

Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain determinan, vektor, dan transformasi geometri. Matriks merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan dengan jajaran bilangan.

1. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

1.1. Pengertian Matriks

Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan contoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannya untuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris dalam tabel berikut.

Mata Pelajaran	Ulangan I	Ulangan II	Ulangan III	Ulangan IV
Matematika	7	8	9	8
Sejarah	8	7	8	6
TIK	5	7	8	6
B. Inggris	7	9	10	8

Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.

Dalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalami kesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilai Matematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, dan baris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertama menyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II, dan seterusnya.

Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6 dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks berikut.

Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4 adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.

1.2. Notasi dan Ordo Matriks

Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, a_ij untuk menyatakan tiap elemen matriks A, b_ij untuk menyatakan tiap elemen B, dan seterusnya.

Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.

Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom.

Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.

a_ij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Untuk ukuran m × n, sering kali disebut ordo suatu matriks sehingga matriks A dapat ditulis A_{m
x n}. Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskan secara singkat ke dalam notasi A = (a_ij), B = (b_ij), dan seterusnya.

Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentang ordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.

Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi dari matriks A dinyatakan dengan A = (a_ij).

Contoh Soal Matriks 1

Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah sebagai berikut.

Tahun	Harga Per Kilogram dalam Rupiah
Tahun	Beras	Gula	Minyak Goreng
2004	1.900	3.750	4.500
2005	2.300	3.900	4.700
2006	2.400	3.800	5.000
2007	2.600	4.000	5.600

a. Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan notasi A.

b. Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?

c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.

d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.

Pembahasan Soal Matriks 1

a. A = $matriks$

b. Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom pada matriks A adalah 3.

c. Elemen-elemen pada baris kedua adalah a₂₁ = 2.300, a₂₂ = 3.900, dan a₂₃ = 4.700.

d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a₁₃ = 4.500, a₂₃ = 4.700, a₃₃ = 5.000, dan a₄₃ = 5.600.

Contoh Soal 2

Diketahui matriks B = $matriks$

Tentukan :

a. ordo matriks B;

b. elemen-elemen baris pertama;

c. elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;

d. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.

Penyelesaian 2

a. Matriks B mempunyai 3 baris dan 4 kolom sehingga ordo matriks B adalah 3 × 4 atau dinotasikan B_{3
× 4}.

b. Elemen-elemen baris pertama adalah 7, –5, 1, dan 8.

c. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 adalah 3, ditulis b₃₂ = 3.

d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9, ditulis b₂₄ = 9.

Contoh Soal 3

Diketahui sistem persamaan linear berikut.

3x + 5y – x = 4

5x + 2y – 3z = 8

2x – 4y + 2z = 6

a. Susunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A.

b. Tentukan ordo matriks A.

c. Hitunglah a₃₂ + a₂₁ + a₁₃.

Jawaban 3

a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam tabel berikut.

	Koefisien x	Koefisien y	Koefisien z
Persamaan 1	3	5	–1
Persamaan 2	5	2	–3
Persamaan 3	2	–4	2

Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan tabel di atas adalah A = $\begin{bmatrix} 3 & 5& -1 \\ 5 & 2 & -3 \\ 2 & -4& 2 \ \end{bmatrix}$

b. Ordo matriks A adalah 3 × 3 atau ditulis A_{3
× 3}.

c. a₃₂ adalah elemen baris ke-3 kolom ke-2, yaitu –4.

a₂₁ adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1, yaitu 5.

a₁₃ adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3, yaitu –1.

Jadi, a₃₂ + a₂₁ + a₁₃ = –4 + 5 + (–1) = 0.

1.3. Matriks-Matriks Khusus

Beberapa macam matriks khusus yang perlu kalian kenal adalah sebagai berikut.

1.3.1. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

Misalnya:

P = [3 2 1]

Q = [4 5 –2 5]

1.3.2. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom, Misalnya:
$Matriks Kolom$

1.3.3. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah n × n. Seringkali matriks A yang berordo n × n disebut dengan matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nn merupakan elemen-elemen pada diagonal utama.

Misalnya:

A = $Matriks Persegi$ merupakan matriks persegi ordo 2.

B = $Matriks Persegi$ merupakan matriks persegi ordo 4.

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10, sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.

1.3.4. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 (nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya nol. Misalnya:
$Matriks Diagonal$

1.3.5. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya. Misalnya:
$Matriks Identitas$

1.3.6. Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya, O_{m
× n}. Misalnya:
$Matriks Nol$

1.4. Transpose Suatu Matriks

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks m n A × adalah $A_{nxm}^{T}$ .

Contoh Soal 5 :

Jika A = $\begin{bmatrix} 4 &2 &-1\\ 3 &5 &6 \end{bmatrix}$ , tentukan A^T dan ordonya.

Pembahasan :

Terlihat dari matriks A bahwa elemen baris ke-1 adalah 4, 2, dan –1, sedangkan elemen baris ke-2 adalah 3, 5, dan 6. Untuk mengubah matriks A menjadi A^T, posisikan elemen baris ke-1 menjadi kolom ke-1 dan elemen baris ke-2 menjadi elemen kolom ke-2 sehingga diperoleh A^T = $\begin{bmatrix} 4 &3 \\ 2 &5 \\ -1&6\end{bmatrix}$

Ordo matriks A adalah 2 × 3, sedangkan ordo AT adalah 3 × 2.

2. Kesamaan Dua Matriks

Coba perhatikan bahwa :

4 = 4;

5 = 3 + 2;

9 = 3³

Perhatikan juga dengan matriks berikut.
$\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

Matriks tersebut adalah dua matriks yang sama. Demikian juga dengan matriks berikut.

$\begin{bmatrix} 1 & 3+1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2^{2}\\ 2 & 2+1 \end{bmatrix}$

Tampak bahwa elemen-elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama. Sekarang, apakah matriks $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ merupakan dua matriks yang sama? Coba selidiki, apakah elemen-elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama?

Jika kalian telah memahami kasus di atas, tentu kalian dapat memahami definisi berikut.

Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama dan semua elemen yang seletak bernilai sama. Elemen yang seletak adalah elemen yang terletak pada baris dan kolom yang sama.

Contoh Soal 5

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ , B = $=\begin{bmatrix} 2^{2} & \sqrt{9}\\ \frac{1}{2}\sqrt{16} & 1 \end{bmatrix}$ , C = $\begin{bmatrix} 4 & -3\\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ , dan D = $\begin{bmatrix} 3 &4 &5\\ 2 &1 &6 \end{bmatrix}$ .

Apakah A = B? Apakah A = C? Apakah A = D?

Pembahasan 5

Dari keempat matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = B karena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama. Matriks A ≠ C karena meskipun ordonya sama, tetapi elemen-elemen seletak ada yang nilainya tidak sama, sedangkan A ≠ D karena ordonya tidak sama.

Contoh Soal 6

Tentukan nilai x, y, dan z jika $\begin{bmatrix} x & 12\\ 1 & 2-y \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 & 3y\\ 1 & z \end{bmatrix}$

Jawaban 6

Karena kedua matriks di atas sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama, diperoleh x = 2, 12 = 3y atau y = 4, dan 2 – y = z atau z = –2. Jadi, x = 2, y = 4, dan z = –2.

3. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

3.1. Penjumlahan Matriks

Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B.

Misalnya:

Matriks $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ dapat dijumlahkan dengan matriks $\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}$ .

Matriks $\begin{bmatrix} a &b &c\\ d &e &f \end{bmatrix}$ dapat dijumlahkan dengan matriks $\begin{bmatrix} g &h &i\\ j &k &l \end{bmatrix}$ .

dan seterusnya.

Secara umum, jika matriks A = [a_ij] dan B = [b_ij] maka matriks A + B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij].

Bagaimana jika kedua matriks mempunyai ordo yang tidak sama?

Misalnya:

matriks $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ dengan matriks $\begin{bmatrix} a &b &c\\ d &e &f \end{bmatrix}$ . Dapatkah kedua matriks itu dijumlahkan?

Coba kalian diskusikan dengan teman-temanmu. Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentu kalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama.

Contoh Soal 7

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 5 & -6 \end{bmatrix}$ , dan C = $\begin{bmatrix} 3 &1 &-2\\ 2 &5 &-3 \end{bmatrix}$ Tentukan :

a. A + B;

b. A + C.

Penyelesaian 7

a. A + B = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 5 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5+4 & -2+2\\ 3+5 & 1\left (-6 \right ) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 0\\ 8 & -5 \end{bmatrix}$

b. A + C = $\begin{bmatrix} 5 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 &1 &-2\\ 2 &5 &-3 \end{bmatrix}$ tidak dapat dijumlahkan karena ordonya tidak sama.

Contoh Soal 8

Carilah nilai x dan y yang memenuhi $\begin{bmatrix} 2x\: +\: 1 \\ 3y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4y \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 8 \end{bmatrix}$

Jawaban 8

Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3

↔ x = 1/3 dan 4y = 8 ↔ y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = 1/3 dan y = 2.

3.2. Pengurangan Matriks

3.2.1. Lawan Suatu Matriks

Sebelum kita membahas tentang pengurangan matriks, terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatu matriks.

Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [a_ij] dapat ditentukan lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–a_ij]. Misalnya sebagai berikut.

Jika A = $\begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ , lawan matriks A adalah –A = $\begin{bmatrix} -4 & -3\\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

Jika B = $\begin{bmatrix} -3 & 0\\ 2 & -1\\ -1&4 \end{bmatrix}$ , lawan matriks B adalah –B = $\begin{bmatrix} 3 & 0\\ -2 & 1\\ 1&-4 \end{bmatrix}$

3.2.2. Pengurangan terhadap Matriks

Pengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu A – B = A + (–B) dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya dengan penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum, jika

A = [a_ij] dan B = [b_ij] maka A – B = [a_ij] – [b_ij] = [a_ij] – [b_ij]

Contoh Soal 9

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ . Tentukan A – B.

Jawaban 9

Cara 1:

Karena –B = $-\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ maka

A – B = A + (–B) = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5+\left (-2 \right ) & 3+1\\ 2+0 & 6+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 2 & 9 \end{bmatrix}$

Cara 2:

A – B = $\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 2 & 6 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5-2 & 3-\left (-1 \right )\\ 2-0 & 6-\left (-3 \right ) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 2 & 9 \end{bmatrix}$

Contoh Soal 10

Hitunglah X jika diketahui $\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 4 & 3 \end{bmatrix}+\: X\: =\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 10 & 0 \end{bmatrix}$

Penyelesaian 10

X = $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 10 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 4 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 8\\ 6 & -3 \end{bmatrix}$

3.3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjumlahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas :

Tujuan : Menemukan sifat-sifat penjumlahan matriks

Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada penjumlahan matriks?

Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas.

1. Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ , dan C = $\begin{bmatrix} 6 & -5\\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ . Tentukan hasil penjumlahan berikut, kemudian tentukan sifat apa yang berlaku.

a. A + B c. (A + B) + C

b. B + A d. A + (B + C)

2. Untuk matriks A = $\begin{bmatrix} 3 & -1&5\\ 2 & -2&7 \end{bmatrix}$ dan O = $\begin{bmatrix} 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 \end{bmatrix}$ , dengan ordo A adalah 2 × 3 dan ordo O adalah 2 × 3, apakah A + O = O + A? Apakah A + O = O + A berlaku untuk semua matriks yang dapat dijumlahkan?

3. Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} -2 & 6&8\\ 5 & -7&-4 \end{bmatrix}$ . Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriks apakah yang kalian peroleh?

Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja yang kalian peroleh?

Berdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut. Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.

a. A + B = B + A (sifat komutatif)

b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)

c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A + O = O + A = A.

d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.

Perhatian :

Untuk pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif, sifat asosiatif, dan tidak mempunyai unsur identitas.

4. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks

4.1. Pengertian Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks

Misalkan A suatu matriks berordo m × n dan k suatu skalar bilangan real. Matriks B = kA dapat diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen A dengan bilangan k, ditulis :

Contoh Soal 11

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 5 & 1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 4 & 6\\ -2 & 8 \end{bmatrix}$ .

Tentukan :

a. 3A; b. 6B; c. –3A + 2B.

Jawaban 11

4.2. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks

Perkalian bilangan real (skalar) dengan suatu matriks dapat dilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks dengan ordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar). Misalkan A dan B matriks-matriks berordo m × n serta k₁ dan k₂ bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat berikut.

a. k₁(A + B) = k₁A + k₁B

b. (k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A

c. k₁(k₂A) = (k₁k₂) A

Bukti :

Di buku ini, hanya akan dibuktikan sifat a. Misalkan k1 skalar, A dan B matriks berordo m × n.

Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks

Cara membuktikan sifat ini dapat juga dilakukan sebagai berikut.

Misalkan matriks A = [a_ij] dan B = [b_ij], dengan i = 1, 2, ..., m

dan j = 1, 2, ..., n

k₁(A + B) = k₁([a_ij] + [b_ij])

= k₁([a_ij + b_ij])

= [k₁(a_ij + b_ij)]

= [k₁a_ij + k₁b_ij]

= [k₁a_ij] + [k₁b_ij]

= k₁[a_ij] + k₁[b_ij]

= k₁A + k₁B .............................................. (terbukti)

5. Perkalian Matriks

5.1. Pengertian Perkalian Matriks

Untuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikan ilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempat yang berbeda. Di toko I, ia membeli 3 bolpoin dan 2 buku, sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Harga bolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00 dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?

Tempat	Bolpoin	Buku
Toko I	3	2
Toko II	4	3

Barang	Harga
Bolpoin	Rp2.500,00
Buku	Rp4.000,00

Untuk menghitung jumlah uang yang dibayar oleh Rina dapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknya barang dengan harga masing-masing sebagai berikut.

Toko I : (3 × Rp2.500,00) + (2 × Rp4.000,00) = Rp15.500,00

Toko II : (4 × Rp2.500,00) + (3 × Rp4.000,00) = Rp22.000,00

Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

P = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeli Rina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.

Q = $\begin{bmatrix} 2.500\\ 4.000 \end{bmatrix}$ menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku. Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat pada tabel berikut.

Tempat	Harga Pembelian
Toko I	3 × Rp 2.500,00 + 2 × Rp 4.000,00 = Rp 15.500,00
Toko II	4 × Rp 2.500,00 + 3 × Rp 4.000,00 = Rp 22.000,00

Tabel pengeluaran di atas bersesuaian dengan perkalian matriks P × Q, yaitu :

P × Q = $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2.500\\ 4.000 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\: x\: 2.500 & 2\: x\: 4.000\\ 4\: x\: 2.500 & 3\: x\: 4.000 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15.500\\ 22.000 \end{bmatrix}$

Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 × 2 dan matriks Q berordo 2 × 1, sedangkan P × Q berordo 2 × 1 sehingga bagan perkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut.

Secara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan A matriks berordo m × p dan B matriks berordo p × n maka A × B adalah suatu matriks C = [c_ij] berordo m × n yang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitu kolom ke-j (c_ij) diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.

Contoh Soal 12

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}$ , B = [-3 2], C = $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ , dan D = $\begin{bmatrix} 4 & -5&-1\\ 2 & 6&1 \end{bmatrix}$

Tentukan :

a. A × B; c. C × D;

b. B × C; d. A × C.

Jawaban 12

a. Hasil perkalian dari A × B.

b. Hasil perkalian dari B × C.

c. Hasil perkalian dari B × C.

d. A × C = $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C.

5.2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari Kanan

Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom matriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Jika perkalian A × B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwa :

a. matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;

b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.

Contoh Soal 13

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ .

Tentukan hasil perkalian

a. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;

b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.

Pembahasan 14

a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berarti :

B x A = $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 1 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 & 5\\ 14 & -14 \end{bmatrix}$

b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berarti :

A x B = $\begin{bmatrix} 4 & -2\\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 16\\ 14 & -3 \end{bmatrix}$

Tampak dari hasil di atas bahwa A × B ≠ B × A, artinya perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

5.3. Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau dijumlahkan. Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas

Tujuan : Menemukan sifat-sifat perkalian matriks.

Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada perkalian matriks?

Kegiatan : Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} -2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ , dan C = $\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , . Jika k = 2, tentukan hasil perhitungan berikut.

a. A × B dan B × A. Apakah A × B = B × A?

Apa kesimpulanmu?

b. (A × B) × C dan A × (B × C).

Apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?

c. A × (B + C), (C × B) + (A × C), dan (A × C) + (A × B).

Bagaimana hubungan ketiga operasi perkalian matriks tersebut?

d. A × I dan I × A dengan I matriks identitas.

Hubungan apa yang terbentuk?

e. A × O dan O × A dengan O matriks nol ordo 2 × 2.

Apakah A × O = O × A = O?

f. (kA) × B dan k(A × B). Apakah (kA) × B = k(A × B)?

Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan dari kegiatan di atas?

Berdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapat dikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.

a. Tidak komutatif, yaitu A × B = B × A.

b. Asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C).

c. Distributif, yaitu:

1) distributif kiri: A × (B + C) = (A × B) + (A × C);

2) distributif kanan: (A + B) × C = (A × C) + (B × C).

d. Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriks identitas I, yaitu A × I = I × A = A (ordo I sama dengan ordo matriks A).

e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A × O = O × A = O.

f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) × B = k(A × B).

Aktivitas

Tujuan : Menentukan hasil perkalian matriks dengan bantuan software komputer.

Permasalahan : Bagaimana cara menentukan hasil perkalian matriks dengan menggunakan software komputer?

Kegiatan : Kita akan menentukan matriks invers dengan Microsoft Excel. Fungsi yang digunakan adalah MMULT. Misalnya,

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.

1. Masukkan elemen-elemen matriks pada sel-sel Microsoft Excel.

2. Tentukan hasil kali matriks A dengan B. Caranya adalah sebagai berikut. Blok sel-sel yang akan ditempati elemen-elemen matriks hasil kali dari matriks A dan B. Ketik = MMULT(, kemudian sorot sel-sel yang mengandung matriks A tadi. Kemudian, ketik koma (,) . Sorot sel-sel yang mengandung elemen-elemen matriks B diikuti dengan mengetik ).

Tekan CTRL + SHIFT + ENTER maka matriks hasil kali dari A dan B akan muncul.

Kesimpulan : Jika kalian melakukan langkah-langkah yang diinstruksikan dengan benar, kalian akan memperoleh hasil berikut.

5.4. Perpangkatan Matriks Persegi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka Aⁿ = A × A × A × ... × A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan Aⁿ = A × A^n–1 atau An = A^n–1 × A.

Contoh Soal 14 :

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ . Tentukan

a. A²; b. A³; c. 2A⁴.

Jawaban :

a. A² = A × A = $\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & -8\\ -4 & 11 \end{bmatrix}$

b. A³ = A × A² = $\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -8\\ -4 & 11 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 & -30\\ -15 & 41 \end{bmatrix}$

Dengan cara lain, yaitu A³ = A² × A, diperoleh :

A³ = A² × A = $\begin{bmatrix} 3 & -8\\ -4 & 11 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 & -30\\ -15 & 41 \end{bmatrix}$

Ternyata, A² × A = A × A² = A³.

c. 2A⁴ = 2A × A³ = $2\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 11 & -30\\ -15 & 41 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 41 & -112\\ -56 & 153 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 82 & -224\\ -112 & 306 \end{bmatrix}$

6. Invers Suatu Matriks

Dua hal penting yang diperlukan dalam mencari invers matriks adalah transpose dan determinan suatu matriks. Pada subbab sebelumnya, kalian telah mempelajari transpose matriks. Sekarang, kita akan mempelajari determinan matriks.

6.1. Determinan Suatu Matriks

6.1.1. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A = $\begin{vmatrix} a &b \\ c & d \end{vmatrix}$ = ad – bc

Contoh Soal 15 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

a. A = $\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ b. B = $\begin{bmatrix} -4 & -1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

Penyelesaian :

a. det A = $\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B = $\begin{bmatrix} -4 & -1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5

6.1.2. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A = $Matriks Ordo 3 × 3$ adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A = $Matriks Ordo 3 × 3$

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus

Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A_{3
× 3}. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.

Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [a_ij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan M_ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A_{3
× 3} kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :

Akan diperoleh M₂₁ = $\begin{bmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$ . M₂₁ adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M₂₁ = minor a₂₁. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M₁₃ = $\begin{bmatrix} a_{21}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix}$

Kofaktor elemen aij, dinotasikan K_ij adalah hasil kali (–1)^i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

K_ij = (–1)^i+j M_ij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a₂₁ dan a₁₃berturut-turut adalah

K₂₁ = (–1)²⁺¹ M₂₁ = –M₂₁ = $\begin{bmatrix} a_{21}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix}$

K₁₃ = (–1)¹⁺³ M₁₃ = M₁₃ = $\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A_{3
× 3} adalah kof(A) = $\begin{bmatrix} K_{11} & K_{12}&K_{13}\\ K_{21} & K_{22}&K_{23}\\ K_{31} & K_{32}&K_{33} \end{bmatrix}$

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

Misalkan diketahui matriks A = $Matriks Ordo 3 × 3$

Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.

Kita pilih baris pertama sehingga

det A = a₁₁ K₁₁ + a₁₂ K₁₂ + a₁₃ K₁₃

= a₁₁ (–1)¹⁺¹ M₁₁ + a₁₂ (–1)¹⁺² M₁₂ + a₁₃ (–1)¹⁺³ M₁₃
₌ $a_{11}\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}+a_{13}\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}$

= a₁₁(a₂₂ a₃₃ – a₃₂ a₂₃) – a₁₂(a₂₁ a₃₃ – a₃₁ a₂₃) + a₁₃(a₂₁ a₃₂ – a₃₁ a₂₂)

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

Contoh Soal 16

Tentukan determinan dari matriks A = $\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &4 \\ 3& 1& 2 \end{vmatrix}$ dengan aturan Sarrus dan minor-kofaktor.

Penyelesaian 16

Cara 1: (Aturan Sarrus)

det A = $\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &4 \\ 3& 1& 2 \end{vmatrix}$

= (1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)

– (1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)

= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8

= 11

Cara 2: (Minor-kofaktor)

Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :

det A = $1\begin{vmatrix} 1 &4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 &4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$

= –2 – 2(–8) + 3(–1)

= –2 + 16 – 3 = 11

Coba kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain. Apakah hasilnya sama?

6.1.3. Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

Misal : $A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0;\: B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal B = $\begin{bmatrix} 4 & 3 & 2\\ 5 & 7 & 8\\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$ (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 5 & 7 & 0\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0$ (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| = |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

6. |A^–1| = $\frac{1}{\left | A \right |}$ , untuk A^–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya).

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.

6.2. Pengertian Invers Matriks

Misalkan dua matriks A dan B adalah matriks berordo n × n dan In adalah matriks identitas berordo n × n. Jika A × B = B × A = I_nmaka matriks A disebut invers matriks B, sebaliknya B disebut invers matriks A. Dalam keadaan seperti ini maka dikatakan bahwa A dan B saling invers.

Jika matriks A mempunyai invers, dikatakan bahwa matriks A adalah matriks nonsingular, sedangkan jika A tidak mempunyai invers, matriks A disebut matriks singular. Invers matriks A ditulis A^–1.

Contoh Soal 17

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}$

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian 17

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

B × A = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

6.3. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ , dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ dan matriks B = $\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}$ sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p & q\\ r & s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ap+br & aq+bs\\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

$p=\frac{d}{ad-bc},\: r=\frac{-c}{ad-bc},\: q=\frac{-b}{ad-bc},\: dan\: s=\frac{a}{ad-bc}$

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ = I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = $\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ maka inversnya adalah :

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A = $\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 7 & 2 \end{bmatrix}$

b. B = $\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 5 & -4 \end{bmatrix}$

Jawaban 18

Aktivitas :

Tujuan : Menentukan invers matriks persegi dengan bantuan software komputer.

Permasalahan : Bagaimana cara menentukan inver matriks dengan menggunakan software komputer?

Kegiatan : Kita akan menentukan matriks invers dengan Microsoft Excel. Fungsi yang digunakan adalah MINVERSE. Misalnya, akan ditentukan invers matriks $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ . Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.

1. Masukkan elemen-elemen matriks pada sel-sel Microsoft Excel yang membentuk persegi.

invers matriks persegi di microsoft excel

2. Tentukan invers matriks A dengan cara berikut. Blok empat sel yang akan ditempati elemen-elemen matriks invers dari A. Ketik “=MINVERSE(”, kemudian sorot sel-sel yang mengandung matriks A tadi. Diikuti dengan mengetik “)”.

Tekan CTRL + SHIFT + ENTER maka matriks invers dari A akan muncul.

Kesimpulan : Jika kalian melakukan langkah-langkah yang diinstruksikan dengan benar, kalian akan memperoleh hasil berikut.

6.4. Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

6.4.1. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

$A^{-1}=\frac{1}{det\: A}adj\left ( A \right )$

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 2&1\\ 2 & 3&4\\ 1 & 2&3 \end{bmatrix}$ . Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A = $det\: A=1\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 2 & 3 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) = $\begin{bmatrix} 1 & -4& 5\\ -2 & 2& -2\\ 1 & 0& -1 \end{bmatrix}$

Jadi, A^–1 dapat dihitung sebagai berikut.

6.4.2. Dengan Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20

Tentukan invers matriks A = $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

invers matriks A dengan transformasi baris elementer

Jadi, diperoleh A^–1 = $\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{bmatrix}$

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

Tentukan invers matriks A = $\begin{bmatrix} 1 & 1& 0\\ 2 & 3& 2\\ 2 & 1& 3 \end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Jawaban 20

6.5. Persamaan Matriks Bentuk AX = B dan XA = B

Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2 × 2, dengan matriks A dan B sudah diketahui elemennya, sedangkan matriks X belum diketahui elemen-elemennya. Matriks X dapat ditentukan jika A mempunyai invers (matriks nonsingular). Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk AX = B dapat dilakukan dengan langkah berikut.

AX = B

↔ A^–1(AX) = A^–1B

↔ (A^–1A)X = A^–1B

↔ IX = A^–1B

↔ X = A^–1B

Dari persamaan terakhir tampak bahwa kedua ruas dikalikan dari kiri oleh A^–1 sehingga diperoleh bentuk penyelesaian X = A^–1B. Untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk XA = B dapat ditentukan dengan cara mengalikan kedua ruas dari kanan dengan A^–1 sehingga diperoleh penyelesaian X = BA^–1 seperti berikut.

XA = B

↔ (XA)A^–1 = BA^–1

↔ X(AA^–1) = BA^–1

↔ XI = BA^–1

↔ X = BA^–1

Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian X = BA^–1. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A^–1B.

Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA^–1.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal 22

Diketahui A = $\begin{bmatrix} 8 & 3\\ 5 & 2 \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Tentukan matriks X yang memenuhi

a. AX = B;

b. XA = B.

Jawaban 22

Karena det A = 16 – 15 = 1 ↔ 0 maka matriks A mempunyai invers.

Jika dicari inversnya, kalian akan memperoleh A^–1 = $\begin{bmatrix} 8 & 3\\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

(Coba kalian tunjukkan).

Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut.

a. AX = B ↔ X = A^–1B = $\begin{bmatrix} 2 & -3\\ -5 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -5\\ -10 & 13 \end{bmatrix}$

b. XA = B ↔ X = BA^–1 = $\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -3\\ -5 & 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & -14\\ -5 & 8 \end{bmatrix}$

7. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

7.1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = p ............................................................................ (1)
cx + dy = q ............................................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.
$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$
Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p\\ q \end{bmatrix}$

asalkan ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 23

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.

2x + y = 7
x + 3y = 7

Jawaban 23

Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.
$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4\\ 7 \end{bmatrix}$
Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

7.2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.
$\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}$

Misalkan A = $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}$ , X = $\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$ , dan B = $\begin{bmatrix} d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3} \end{bmatrix}$

Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.
Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A^-1 B. Dalam hal ini, A^-1 = $\frac{1}{det\: A}\: adj\left ( A \right )$

Oleh karena itu, diperoleh :
$X=\left (\frac{1}{det\: A}\: adj\left ( A \right ) \right )B=\frac{1}{det\: A}\: adj\left (A \right )B$

asalkan det A ≠ 0.